Chaos Theory and the Lorenz Equations

Chaos theory (Japanese reading: kaosu riron; English: chaos theory; German: Chaosforschung; French: théorie du chaos) studies phenomena displaying complex behavior found in some dynamical systems, considered unpredictable because of numerical errors. Also called chaotic dynamics. Unpredictable here by no means means random. Although its behavior follows deterministic laws, solutions cannot be obtained by integration, so numerical analysis must be used to learn its future (and past) behavior. However, sensitivity to initial values requires information of infinite precision at a given time, and errors arising during numerical analysis (inevitably, because computers cannot handle infinitely many digits) also amplify the discrepancy between obtained values and true values. It means prediction is therefore practically impossible. The Lorenz equations are nonlinear ordinary differential equations first studied by mathematician and meteorologist Edward Lorenz. They attract attention for having chaotic solutions for particular parameter values and initial conditions. In particular, the set of chaotic solutions of the Lorenz equations is called the Lorenz attractor. Often used to explain the so-called butterfly effect, the sensitivity to initial values of deterministic simultaneous ordinary differential equations was met with surprise and sparked research into chaos. https://scrapbox.io/files/65a5eadf6fa05f00239856d6.png Solution trajectories of the chaotic Lorenz equations.

カオス理論（カオスりろん、英: chaos theory、独: Chaosforschung、仏: théorie du chaos）とは、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。カオス力学ともいう。 ここで言う予測できないとは、決してランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、積分法による解が得られないため、その未来（および過去）の振る舞いを知るには数値解析を用いざるを得ない。しかし、初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、（コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する）数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。そのため予測が事実上不可能という意味である。 ローレンツ方程式（ローレンツほうていしき）とは、数学者・気象学者であるエドワード・ローレンツ（Edward Lorenz）が最初に研究した非線型常微分方程式である。特定のパラメータ値と初期条件に対してカオス的な解を持つことで注目されている。特に、ローレンツ方程式のカオス解の集合はローレンツ・アトラクターと呼ばれる。いわゆるバタフライ効果の説明に用いられることが多く、決定論的な連立常微分方程式が初期値鋭敏性を持つことは驚きをもって迎えられ、カオス研究の端緒となった。 https://scrapbox.io/files/65a5eadf6fa05f00239856d6.png カオス性を持つローレンツ方程式の解軌道